(2012•武漢)如圖1,點(diǎn)A為拋物線C1:y=
12
x2-2的頂點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)直線AB交拋物線C1于另一點(diǎn)C
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=3交直線AB于點(diǎn)D,交拋物線C1于點(diǎn)E,平行于y軸的直線x=a交直線AB于F,交拋物線C1于G,若FG:DE=4:3,求a的值;
(3)如圖2,將拋物線C1向下平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線C2,且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,交x軸于點(diǎn)M,交射線BC于點(diǎn)N.NQ⊥x軸于點(diǎn)Q,當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí),求m的值.
分析:(1)已知拋物線C1的解析式,易得頂點(diǎn)A的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式,聯(lián)立拋物線C1的解析式后可求得C點(diǎn)坐標(biāo).
(2)將x=3代入直線AB、拋物線C1的解析式中,先求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)及DE的長,根據(jù)FG、DE的比例關(guān)系,可求出線段FG的長.同理,先用a表示線段FG的長,然后結(jié)合FG的長列出關(guān)于a的方程,由此求出a的值.
(3)根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律,先求出拋物線C2的解析式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo),聯(lián)立直線AB的解析式可得到點(diǎn)N的坐標(biāo).結(jié)合N、Q、M三點(diǎn)坐標(biāo),易發(fā)現(xiàn)△MNQ是等腰直角三角形,過N作NH⊥y軸于H,設(shè)MN交y軸于T,那么△MOT、△NHT也是等腰直角三角形,由此求出OT、HT、PT的長;NP是∠MNQ的角平分線,且NQ∥y軸,能證得△NTP是等腰三角形,即NT=TP,由此求出P點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合拋物線C2的解析式,即可確定m的值.
解答:解:(1)∵當(dāng)x=0時(shí),y=-2;
∴A(0,-2).
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則:
-2=b
0=k+b
,
解得
k=2
b=-2

∴直線AB解析式為y=2x-2.
∵點(diǎn)C為直線y=2x-2與拋物線y=
1
2
x2-2的交點(diǎn),則點(diǎn)C的橫、縱坐標(biāo)滿足:
y=
1
2
x2-2
y=2x-2
,
解得
x1=4
y1=6
x2=0
y2=-2
(舍)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,6).

(2)直線x=3分別交直線AB和拋物線C1于D、E兩點(diǎn).
∴yD=4,yE=
5
2
,
∴DE=
3
2

∵FG:DE=4:3,
∴FG=2.
∵直線x=a分別交直線AB和拋物線C1于F、G兩點(diǎn).
∴yF=2a-2,yG=
1
2
a2-2
∴FG=|2a-
1
2
a2|=2,
解得:a1=2,a2=2+2
2
,a3=2-2
2


(3)設(shè)直線MN交y軸于T,過點(diǎn)N做NH⊥y軸于點(diǎn)H;

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(t,0),拋物線C2的解析式為y=
1
2
x2-2-m;
∴0=
1
2
t2-2-m,
∴-2-m=-
1
2
t2
∴y=
1
2
x2-
1
2
t2,
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,-
1
2
t2).
∵點(diǎn)N是直線AB與拋物線y=
1
2
x2-
1
2
t2的交點(diǎn),則點(diǎn)N的橫、縱坐標(biāo)滿足:
y=
1
2
x2-
1
2
t2
y=2x-2
,
解得
x1=2-t
y1=2-2t
x2=2+t
y2=2+2t
(舍).
∴N(2-t,2-2t).
NQ=2-2t,MQ=2-2t,
∴MQ=NQ,
∴∠MNQ=45°.
∴△MOT、△NHT均為等腰直角三角形,
∴MO=OT,HT=HN
∴OT=-t,NT=
2
(2-t),PT=-t+
1
2
t2
∵PN平分∠MNQ,
∴∠MNP=∠PNQ,
∵NQ∥PT,
∴∠NPT=∠PNQ,
∴∠MNP=∠NPT,
∴PT=NT,
∴-t+
1
2
t2=
2
(2-t),
∴t1=-2
2
,t2=2(舍)
-2-m=-
1
2
t2=-
1
2
(-2
2
2,
∴m=2.
點(diǎn)評:該二次函數(shù)綜合題涉及到函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).(3)題的難度較大,找到特殊角是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•武漢)如圖,點(diǎn)A在雙曲線y=
k
x
的第一象限的那一支上,AB垂直于y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點(diǎn)E在線段AC上,且AE=3EC,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),若△ADE的面積為3,則k的值為
16
3
16
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•武漢)如圖,小河上有一拱橋,拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE,ED,DB組成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米,以ED所在的直線為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi),水面與河底ED的距離h(單位:米)隨時(shí)間t(單位:時(shí))的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=-
1128
(t-19)2+8(0≤t≤40),且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí),需禁止船只通行,請通過計(jì)算說明:在這一時(shí)段內(nèi),需多少小時(shí)禁止船只通行?

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(2012•武漢)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E在邊AB上,將矩形ABCD沿直線DE折疊,點(diǎn)A恰好落在邊BC的點(diǎn)F處.若AE=5,BF=3,則CD的長是(  )

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