Question

如圖，在△ABC中，AB=4，AC=6，∠BAC=60º，∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)E，則AE的長為       .

Answer 1

或

試題分析：

過B作BF⊥AC于點(diǎn)F。在Rt△BAF中，∵∠BAF=60°，
所以AF=AB=2.BF=，則CF=AC-AF=6-2=4
所以
連結(jié)BO交圓O于點(diǎn)M。連結(jié)MC、OC。

根據(jù)同弧所對圓周角相等，可知：∠BMC=∠BAC=60°。
則sin∠BMC=sin∠BAC=。即
又因?yàn)椤鱉OC為等腰三角形。所以△MOC是等邊三角形。
則MC=OM=OC=r=

過E點(diǎn)作EC⊥AC于點(diǎn)H。設(shè)AE=x，則EH=x。AH=x。CH=6-x。
所以
解得x₁=，x₂=則AE=或。
點(diǎn)評：本題難度較大。主要考查學(xué)生對圓及三角函數(shù)知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，一般為壓軸題型，要求學(xué)生多做訓(xùn)練，注意 數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，運(yùn)用到考試中去。