Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以點A為原點建立平面直角坐標系，使AB在x軸正半軸上，點D是AC邊上的一個動點，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下結(jié)論：

①△AFD∽△DCE∽△EGB；

②當(dāng)D為AC的中點時，△AFD≌△DCE；

③點C的坐標為（3.2，2.4）；

④將△ABC沿AC所在的直線翻折到原來的平面，點B的對應(yīng)點B1的坐標為（1.6，4.8）；

⑤矩形DEGF的最大面積為3．在這些結(jié)論中正確的有_____（只填序號）

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

①正確，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可判斷；

②錯誤．根據(jù)斜邊不相等即可判斷；

③正確．求出點C坐標即可判斷；

④錯誤．求出點B1即可判斷；

⑤正確．首先證明四邊形DEGF是矩形，推出DF=EG，DE=FG，設(shè)DF=EG=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.

如圖，作CH⊥AB于H．

∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，

∴∠AFD＝∠DCE＝∠EGB＝90°，

∵DE∥AB，

∴∠CDE＝∠DAF，∠CED＝∠EBG，

∴△AFD∽△DCE∽△EGB；故①正確；

當(dāng)AD＝CD時，∵DE＞CD，

∴DE＞AD，

∴△AFD與△DCE不全等，故②錯誤，

在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝5，CH＝4，

∴AH＝＝3.2，

∴C（3.2，2.4），故③正確，

將△ABC沿AC所在的直線翻折到原來的平面，點B的對應(yīng)點B1，設(shè)B1為（m，n），

則有＝3.2，m＝1.4，

＝2.4，n＝4.8，

∴B1（1.4，4.8），故④錯誤；

∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，

∴DF∥EG，

∵DE∥AB，

∴四邊形DEGF是平行四邊形，

∵∠DFG＝90°，

∴四邊形DEGF是矩形，

∴DF＝EG，DE＝FG，設(shè)DF＝EG＝x，則AF=x，BG＝x，

∴DE＝FG＝5﹣x﹣x＝5﹣x，

∵S矩形DEGF＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，

∵﹣＜0，

∴S的最大值＝＝3，故⑤正確，

綜上所述，正確的有：①③⑤，

故答案為①③⑤．