Question

如果拋物線C₁的頂點(diǎn)在拋物線C₂上，同時(shí)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在拋物線C₁上，那么，我們稱拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線①y=x²+2x-1，判斷下列拋物線②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1與已知拋物線①是否關(guān)聯(lián)，并說(shuō)明理由．
（2）拋物線C₁：y=（x+1）²-2，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），將拋物線繞點(diǎn)P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)，求拋物線C₂的解析式．
（3）A為拋物線C₁：y=（x+1）²-2的頂點(diǎn)，B為與拋物線C₁關(guān)聯(lián)的拋物線頂點(diǎn)，是否存在以AB為斜邊的等腰直角△ABC，使其直角頂點(diǎn)C在y軸上？若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵①拋物線y=x²+2x-1=（x+1）²-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2），
∴②當(dāng)x=-1時(shí)，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴點(diǎn)M在拋物線②上；
∵③當(dāng)x=-1時(shí)，y=x²+2x+1=1-2+1=0，
∴點(diǎn)M不在拋物線③上；
∴拋物線①與拋物線②有關(guān)聯(lián)；
∵拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
經(jīng)驗(yàn)算：（1，2）在拋物線①上，
∴拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的；

（2）拋物線C₁：y=（x+1）²-2的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-2），
∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），
∴點(diǎn)P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=4，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，
當(dāng)y=6時(shí)，（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x-7）²+6，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x-7）²+6；
②設(shè)拋物C₂的解析式為：y=a（x+9）²+6，
∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-．
∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x+9）²+6；
（3）點(diǎn)C在y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AC為腰作等腰直角△ABC，令C的坐標(biāo)為（0，c），則點(diǎn)B的坐標(biāo)分兩類：
①當(dāng)A，B，C逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)，如圖中B點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為H，F(xiàn)，則△BCF≌△CAH，
∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c+2，c-1），
當(dāng)點(diǎn)B在拋物線C₁：y=（x+1）²-2上時(shí)，c-1=（c+2+1）²-2，
解得：c=1．
②當(dāng)A，B，C順時(shí)針?lè)植紩r(shí)，如圖中B′點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B′作y軸的垂線，垂足為D，
同理可得：點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-c-2，c+1），
當(dāng)點(diǎn)B′在拋物線C₁：y=（x+1）²-2上時(shí)，c+1=（-c-2+1）²-2，
解得：c=3+4或c=3-4．
綜上所述，存在三個(gè)符合條件的等腰直角三角形，其中C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：C₁（0，1），C₂（0，3+4），C₃（0，3-4）．
分析：（1）首先求得拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線①上即可求得答案；
（2）首先求得拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；
（3）分別從當(dāng)A，B，C逆時(shí)針?lè)植紩r(shí)與當(dāng)A，B，C順時(shí)針?lè)植紩r(shí)分析，根據(jù)全等三角形的知識(shí)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，注意別漏解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．