【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點C的坐標;
(2)求證:△ABC是直角三角形;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O,M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵頂點坐標為(1,1),

∴設拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1,

又拋物線過原點,

∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,

∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1,

即y=﹣x2+2x,

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ,解得 ,

∴B(2,0),C(﹣1,﹣3)


(2)

證明:如圖,分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,

則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,

∴△ABC是直角三角形;


(3)

解:假設存在滿足條件的點N,設N(x,0),則M(x,﹣x2+2x),

∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,

由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分別求得AB= ,BC=3 ,

∵MN⊥x軸于點N

∴∠ABC=∠MNO=90°,

∴當△ABC和△MNO相似時有 = = ,

①當 = 時,則有 ,即|x||﹣x+2|= |x|,

∵當x=0時M、O、N不能構成三角形,

∴x≠0,

∴|﹣x+2|= ,即﹣x+2=± ,解得x= 或x=

此時N點坐標為( ,0)或( ,0);

②當 = 時,則有 ,即|x||﹣x+2|=3|x|,

∴|﹣x+2|=3,即﹣x+2=±3,解得x=5或x=﹣1,

此時N點坐標為(﹣1,0)或(5,0),

綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標為( ,0)或( ,0)或(﹣1,0)或(5,0)


【解析】(1)可設頂點式,把原點坐標代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得C點坐標;
(2)分別過A、C兩點作x軸的垂線,交x軸于點D、E兩點,結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°,可證得結論;
(3)設出N點坐標,可表示出M點坐標,從而可表示出MN、ON的長度,當△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質可得 = = ,可求得N點的坐標. 本題為二次函數(shù)的綜合應用,涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質及分類討論等.在(1)中注意頂點式的運用,在(3)中設出N、M的坐標,利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵,注意相似三角形點的對應.本題考查知識點較多,綜合性較強,難度適中.
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點和勾股定理的概念的相關知識點,需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】為了了解某學校初四年紀學生每周平均課外閱讀時間的情況,隨機抽查了該學校初四年級m名同學,對其每周平均課外閱讀時間進行統(tǒng)計,繪制了如下條形統(tǒng)計圖(圖一)和扇形統(tǒng)計圖(圖二):

(1)根據(jù)以上信息回答下列問題:
①求m值.
②求扇形統(tǒng)計圖中閱讀時間為5小時的扇形圓心角的度數(shù).
③補全條形統(tǒng)計圖.
(2)直接寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù),求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).

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(2)點D為y軸正半軸上一點,若ED∥AB,且AM,DM分別平分∠CAB,∠ODE,如圖 2,求∠AMD的度數(shù);

(3)如圖 3,(也可以利用圖 1)①求點F的坐標;②坐標軸上是否存在點P,使得△ABP和△ABC的面積相等?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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②分別以點D,E為圓心,以大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內部交于點C;

③作射線OC,則射線OC就是∠AOB的平分線.

以上用尺規(guī)作角平分線時,用到的三角形全等的判定方法是( 。

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選擇意向

文學鑒賞

國際象棋

音樂舞蹈

書法

其他

所占百分比

a

20%

b

10%

5%


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(1)求本次抽樣調查的學生總人數(shù)及a、b的值;
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(3)若該校共有1300名學生,試估計全校選擇“音樂舞蹈”社團的學生人數(shù).

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B.3
C.2
D.2+

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