Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=，tan∠ABC=2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CF．

（1）求證：BE=DF；

（2）當(dāng)t= 秒時(shí)，DF的長度有最小值，最小值等于 ；

（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q，當(dāng)t為何值時(shí)，△EPQ是直角三角形？

（4）如圖3，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（α=∠BCD），得到對(duì)應(yīng)線段CG．在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），12；（3）t=6或t=；（4）．

【解析】

試題分析：（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結(jié)合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得；

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E′時(shí)，由DF=BE′知此時(shí)DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP=90°時(shí)，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根據(jù)AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；

②∠EPQ=90°時(shí)，由菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE=；

（4）連接GF分別角直線AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，證△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，從而知四邊形CDMN是平行四邊形，由平行四邊形得MN=CD=；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=，根據(jù)tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=+12，由GF=DE=t得FM=t﹣﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．

試題解析：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵CF=CE，∠DCF=∠BCE，CD=CB，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E′時(shí)，DF=BE′，此時(shí)DF最小，在Rt△ABE′中，AB=，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴設(shè)AE′=x，則BE′=2x，∴AB=x=，則AE′=6，∴DE′=+6，DF=BE′=12，故答案為：，12；

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①當(dāng)∠EQP=90°時(shí)，如圖2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；

②當(dāng)∠EPQ=90°時(shí)，如圖2②，∵菱形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，∴EC與AC重合，∴DE=，∴t=秒；

綜上所述：t=6或t=.

（4）.如圖3，連接GF分別角直線AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵EC=FC，∠DCE=∠GCF，DC=GC，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴MN=CD=，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣﹣12），即．