Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，將ABE沿BE翻折，點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處，連接EG并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F．

（1）如果cos∠DBC，求EF的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊BC上時(shí)，連接AG，設(shè)AD＝x，y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出x的取值范圍；

（3）連接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）EF＝9；（2）y（x）；（3）AD的長(zhǎng)為或

【解析】

（1）利用S△BEF=BFAB=EFBG，即可求解；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BG交于點(diǎn)H，連接AG，設(shè)：BF＝a，先表示出AH，根據(jù)三角形面積公式可得y，由tanα可得a2＝36+（）2，整理可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)BF≤10可求出x的取值范圍.

（3）分GF=FC、CF=CG兩種情況，求解即可．

（1）將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處，

∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，

cos∠DBC，則：BF＝9，

S△BEFBFABEFBG，即：9×6＝6×EF，

則EF＝9；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BG交于點(diǎn)H，連接AG，設(shè)：BF＝a，

在Rt△BGF中， cosα，則tanα，

∵∠BAH+∠ABH=90°，∠ADB+∠ABH=90°，

∴∠BAH=∠ADB= a，

∴AH=6cos a，

∴y①，

∵tanα，

∴a2＝36+（）2…②，

把②式代入①式整理得：y；

∵BF≤10，

∴36+（）2≤100，

解之得x，

∴y（x）；

（3）①當(dāng)GF＝FC時(shí)，

∵cosα，

∴，

∴BF=，

∴FC=10-，

∵sinα=，

∴，

整理得,

4x2-45x=0，

∴x1，x2=0（舍去），

∴AD；

②當(dāng)CF＝CG時(shí)，

∵CF＝CG，

∴∠CFG=∠CGF，

∵∠CFG+∠CBG=90°，∠CGF+∠CGB=90°，

∴∠CBG=∠CGB，

∴CG=CB=CF=10，

∴BF=20.

∵sinα=，

∴，

整理得

91x2=324，

∴x1，x2（舍去）；

故：AD的長(zhǎng)為或．