【題目】

如圖,把EFP放置在菱形ABCD中,使得頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上,已知EP=FP=6,EF=,BAD=60°,且AB>

EPF的大;

AP=8,求AE+AF的值;

EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E,F,P分別在線段AB,AD,AC上運(yùn)動(dòng),請(qǐng)直接寫出AP長(zhǎng)的最大值和最小值.

【答案】(1)120°;(2);(3)AP的最大值為12,AP的最小值為6.

【解析】

試題分析:(1)如圖,過點(diǎn)P作PGEF于G,已知PE=PF=6,EF=,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得FG=EG=,FPG=EPG=.在RtFPG中,由sinFPG=可求得FPG=60°,所以EPF=2FPG=120°.(2)PMABM,PNADN,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得DAC=BAC,AM=AN,PM=PN,再利用HL證明RtPMERtPNF,即可得NF=ME.又因AP=10,,所以AM= AN =APcos30°==.所以AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.(3)如圖,當(dāng)EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在,之間運(yùn)動(dòng),易知,,所以AP的最大值為12,AP的最小值為6.

試題解析:(1)如圖,過點(diǎn)P作PGEF于G.

PE=PF=6,EF=

FG=EG=,FPG=EPG=.

在RtFPG中,sinFPG=.

∴∠FPG=60°,

∴∠EPF=2FPG=120°.

(2)作PMABMPNADN

AC為菱形ABCD的對(duì)角線,

∴∠DAC=BAC,AM=AN,PM=PN.

在RtPME和RtPNF 中,PM=PN,PE=PF,

RtPMERtPNF

NF=ME.

又AP=10,,

AM= AN =APcos30°==.

AE+AF=(AM+ME)+(AN-NF)=AM+AN=.

(3) 如圖,當(dāng)EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線段AB,AD,AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在之間運(yùn)動(dòng),易知,,

AP的最大值為12,AP的最小值為6.

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