【題目】如圖①,已知點DAB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE90°,且MEC的中點.

1)連接DM并延長交BCN,求證:CNAD;

2)求證:△BMD為等腰直角三角形;

3)將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時(如圖②所示位置),其它條件不變,△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立?若成立,請證明:若不成立,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)仍成立,見解析;

【解析】

1)由∠ABC=ADE=90°可得DEBC,再根據(jù)平行線的性質(zhì),推出∠DEM=MCB,根據(jù)ASA推出EMD≌△CMN,證出CN=ED,因為AD=DE,即可得到CN=AD;
2)由(1)可知CN=AD,DM=MN,再由AB=AC,可得BD=BN,從而可得DBN是等腰直角三角形,且BM是底邊DN上的中線,再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得到BMD為等腰直角三角形;
3)作CNDEDM的延長線于N,連接BN,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=NCM,根據(jù)ASADBA≌△NBC,推出DBN是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可推出BMD為等腰直角三角形.

1)證明:如圖①,


∵∠EDA=ABC=90°
DEBC,
∴∠DEM=MCB,
EMDCMN中,
,
∴△EMD≌△CMNASA),
CN=DE
AD=DE,
CN=AD
2)證明:由(1)得CN=AD,EMD≌△CMN,
DM=MN,
BA=BCCN=AD,
BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底邊的中線,
BMDMBM=DN=DM,
∴△BMD為等腰直角三角形;
3)答:BMD為等腰直角三角形的結(jié)論仍成立,
證明:如圖②,作CNDEDM的延長線于N,連接BN


∴∠E=MCN=45°,
∵∠DME=NMC,EM=CM
∴△EMD≌△CMNASA),
CN=DE=DAMN=MD,
又∵∠DAB=180°-DAE-BAC=90°,
BCN=BCM+NCM=45°+45°=90°,
∴∠DAB=NCB,
在△DBA和△NBC中,
,
∴△DBA≌△NBCSAS),
∴∠DBA=NBC,DB=BN,
∴∠DBN=ABC=90°
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底邊的中線,
BMDM,∠DBM=DBN=45°=BDM,
MB=MD,

∴△BMD為等腰直角三角形.

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