如果自然數(shù)xi滿足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5,求x5的最大值.
分析:根據(jù)題意可知:x1,x2,x3,x4,x5都是正整數(shù),所以可設(shè)1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5,再分別從除了x5其他全是1,至少有2個(gè)數(shù)大于等于2,至少有3個(gè)數(shù)大于等于2,去分析求解即可求得答案.
解答:解:∵自然數(shù)xi滿足x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5,
∴x1,x2,x3,x4,x5都是正整數(shù),
不妨設(shè)1≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5,
若除了x5其他全是1,
∴則4+x5=x5,∴不可;
∴至少有2個(gè)數(shù)大于等于2,
若只有2個(gè)數(shù)大于等于2,則3+x4+x5=x4x5
即(x4-1)(x5-1)=3,
∴x5=4 x4=2,
驗(yàn)證,不可;
∴至少有3個(gè)數(shù)大于等于2,
若3個(gè)數(shù)大于等于2中有2個(gè)等于2,則1+1+2+2+x5=4x5,
∴x5=2,∴不可;
∴至少有3個(gè)數(shù)大于等于2,3個(gè)數(shù)大于等于2中只有1個(gè)等于2,那么至少還有一個(gè)大于等于3,
若x5≥6,
∴x1x2x3x4x5≥1×1×2×3×6≥36,
∴x1+x2+x3+x4+x5≤5×6=30,矛盾,
∴x5≤5,其次x1=1,x2=1,x3=1,x4=2,x5=5,成立.
∴x5的最大值為5.
點(diǎn)評(píng):此題考查了自然數(shù)的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是利用分類討論思想求解.
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