Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=x²+．
（Ⅰ）當(dāng)自變量x=1時(shí)，分別計(jì)算函數(shù)y₁、y₂的值；
（Ⅱ）說(shuō)明：對(duì)于自變量x的同一個(gè)值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函數(shù)y₃=ax²+bx+c同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：
①當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂； ②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出滿足條件的函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）自己把x=1分別代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中計(jì)算即可求解；
（2）首先利用y₁-y₂，然后利用配方法證明y₁-y₂≤0即可求解；
（3）首先假設(shè)存在，使得y₁≤y₃≤y₂成立，由于當(dāng)x=-1時(shí)，y₃=0，而y₁=-1，y₂=1，由此得到a-b+c=0，又當(dāng)x=1時(shí)，1≤a+b+c≤1，由此得到a+b+c=1，所以b=a+c=，進(jìn)一步得到，當(dāng)x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c，若，即，由此可以分別得到兩個(gè)不等式組，解不等式組并且討論即可解決問(wèn)題．
解答：解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y₁=1，y₂=1；

（2）
=
=
=，
∴y₁≤y₂；

（3）假設(shè)存在，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
當(dāng)x=-1時(shí)，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
當(dāng)x=1時(shí)，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=，
∴，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得，即①
若，即
得，即
由不等式①、②得：0＜a＜，（a-c）²≤0，，
∴滿足條件的函數(shù)解析式為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有求二次函數(shù)的函數(shù)值和函數(shù)值的大小的比較．在求有關(guān)開放性問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．