Question

【題目】在等腰中，，，點，點分別是軸，軸上兩個動點，直角邊交軸于點，斜邊交軸于點.

（1）如圖①，當等腰運動到使點恰為中點時，連接，求證：；

（2）如圖②，當等腰運動到使時，點的橫坐標為，.在軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，P點的坐標為或或或．

【解析】

（1）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，則△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠AGC，從而得到結論；

（2）根據含30°的直角三角形的特點解直角三角形，分別求出OA和AB,然后設P(a,0)分情況討論即可．

解：（1）證明：如圖，過點C作CG⊥AC交y軸于點G，

∵D為AC的中點，

∴AD=CD，

∵AC=AB，，

∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵CG⊥AC ，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，

在△ACG和△ABD中，

∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，

∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠AGC，
∴∠ADB=∠CDE；

（2）存在，

∵，,

∴,即,

∴在Rt△AOB中根據勾股定理,

即,

解得OA=3，AB=2OA=6,

∴，

設P(a,0),則，

①若AP=BP,則AP2=BP2，即

，解得

∴,

②若AP=AB,則AP2=AB2，即

,解得或（舍去），

∴，

③若AB=AB,則AB2=AB2，即

，

解得或，

∴或，

綜上所述P點的坐標為或或或．