【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C,其頂點為點D,點E的坐標(biāo)為(0,﹣1),該拋物線與BE交于另一點F,連接BC.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度沿與y軸平行的方向向上運動,連接OM,BM,設(shè)運動時間為t秒(t>0),在點M的運動過程中,當(dāng)t為何值時,∠OMB=90°?
(3)在x軸上方的拋物線上,是否存在點P,使得∠PBF被BA平分?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2;(2)﹣;(3)P(, ).
【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)設(shè)出點M,用勾股定理求出點M的坐標(biāo),從而求出MD,最后求出時間t;
(3)由∠PBF被BA平分,確定出過點B的直線BN的解析式,求出此直線和拋物線的交點即可.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點,
∴,
∴,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x﹣2;
(2)如圖1,
由(1)知y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;
∵D為拋物線的頂點,
∴D(2, ),
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴設(shè)M(2,m),(m>),
∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,OB2=9,
∵∠OMB=90°,
∴OM2+BM2=OB2,
∴m2+4+m2+1=9,
∴m=或m=﹣(舍),
∴M(0, ),
∴MD=﹣,
∵一動點M從點D出發(fā),以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動,
∴t=﹣;
(3)存在點P,使∠PBF被BA平分,
如圖2,
∴∠PBO=∠EBO,
∵E(0,﹣1),
∴在y軸上取一點N(0,1),
∵B(3,0),
∴直線BN的解析式為y=﹣x+1①,
∵點P在拋物線y=﹣x2+x﹣2②上,
聯(lián)立①②得,
解得或(舍去),
∴P(, ).
“點睛”本題看考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的面積角平分線等知識,解題時根據(jù)靈活運用所學(xué)知識,學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù),利用方程組求兩個函數(shù)交點坐標(biāo),屬于中考?碱}型.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(1,0),B(2,0),正六邊形ABCDEF沿x軸正方向無滑動滾動,每旋轉(zhuǎn)60°為滾動1次,那么當(dāng)正六邊形ABCDEF滾動2017次時,點F的坐標(biāo)是( )
A. (2017,0) B. (2017, ) C. (2018, ) D. (2018,0)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某課外興趣小組為了解所在地區(qū)老年人的健康情況,分別作了四種不同的抽樣調(diào)查,你認為抽樣比較合理的是( 。
A. 調(diào)查了10名老年鄰居的健康狀況
B. 在醫(yī)院調(diào)查了1000名老年人的健康狀況
C. 在公園調(diào)查了1000名老年人的健康狀況
D. 利用派出所的戶籍網(wǎng)隨機調(diào)查了該地區(qū)10%的老年人的健康狀況
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.如果兩條直線被第三條直線所截,那么內(nèi)錯角相等
B.過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直
C.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
D.同一平面內(nèi)兩條線段不平行必相交
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在端午節(jié)到來之前,學(xué)校食堂推薦了A,B,C三家粽子專賣店,對全校師生愛吃哪家店的粽子作調(diào)查,以決定最終向哪家店采購,下面的統(tǒng)計量中最值得關(guān)注的是( )
A.方差
B.平均數(shù)
C.中位數(shù)
D.眾數(shù)
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