Question

（2012•門頭溝區(qū)一模）閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．

小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG（如圖2），此時GF即是DE+BF．
請回答：在圖2中，∠GAF的度數(shù)是

45°

．
參考小偉得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點，若∠BAE=45°，DE=4，則BE=

58

7

．
（2）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B是x軸上一動點，且點A（-3，2），連接AB和AO，并以AB為邊向上作正方形ABCD，若C（x，y），試用含x的代數(shù)式表示y，則y=

x+1

．

Answer 1

分析：閱讀材料：根據(jù)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得∠GAB=∠EAD，然后求出∠GAF=∠BAF+∠EAD，再根據(jù)∠EAF=45°計算即可得解；
（1）過點A作AF⊥CB交CB的延長線于點F，可得四邊形AFCD是正方形，然后設(shè)BE=x，根據(jù)小偉的結(jié)論表示出BF，再求出CE、BC，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可得解；
（2）過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，然后利用“AAS”證明△ABE和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF，BE=CF，再根據(jù)點A、C的坐標(biāo)表示出OB，整理即可得解．

解答：解：閱讀材料：
∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∴∠GAB=∠EAD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF，
=∠EAD+∠BAF，
=∠BAD-∠EAF，
=90°-45°，
=45°；

（1）如圖3，過點A作AF⊥CB交CB的延長線于點F，
∵AD∥BC，∠D=90°，AD=CD，
∴四邊形AFCD是正方形，
設(shè)BE=x，
根據(jù)小偉的結(jié)論，BF=BE-DE=x-4，
∵CD=10，DE=4，
∴CE=CD-DE=10-4=6，
BC=CF-BF=10-（x-4）=14-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即（14-x）²+6²=x²，
整理得，-28x=-232，
解得x=

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7

，
即BE=

58

7

；

（2）如圖4，過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∵

∠BAE=∠CBF ∠AEB=∠BFC=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF，
∵點A（-3，2），C（x，y），
∴OE=3，AE=2，OF=x，CF=y，
∴OB=BE-OE=y-3，
OB=OF-BF=x-2，
∴y-3=x-2，
整理得，y=x+1．
故答案為：45°；

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7

；x+1．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，（2）作輔助線補充完整正方形是解題的關(guān)鍵，（3）作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．