Question

如圖，拋物線與x軸交于A，0兩點(diǎn)，將拋物線向上移動4個(gè)單位長度后得到一條新拋物線，它的頂點(diǎn)在x軸上，新拋物線上的D，E兩點(diǎn)分別是A，O兩點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)。設(shè)兩條拋物線、線段AD和線段OE圍成的面積為S。P（m，n）是新拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，切滿足

⑴求新拋物線的解析式。
⑵當(dāng)m=-2時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，試判斷直線DF與AE的位置關(guān)系，并說明理由。
⑶當(dāng)的值最小時(shí)，求△AEP的面積與S的數(shù)量關(guān)系。

Answer 1

⑴⑵DF∥AE，理由見解析⑶△AEP=S解析:
⑴由題意可知，原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），且過原點(diǎn)，可得，那么新拋物線的解析式為
⑵直線DF與AE的位置關(guān)系為DF∥AE。理由如下：當(dāng)m=-2時(shí)，P（-2,0），把點(diǎn)P（-2,0）帶入可得=4，所以點(diǎn)F（-8,0），又有點(diǎn)A(-4,0),D(-4,4),E(0,4)，可證△ADF和△OEA全等，所以∠AFD=∠OAE，所以DF∥AE。
⑶連結(jié)DE，則新拋物線與DE圍成的圖形的面積等于原拋物線與AO圍成的圖形的面積，所以
S=S_{正方形AOED}=4×4=16.因?yàn)辄c(diǎn)P（m，n）是新拋物線上的一點(diǎn)，所以，又因?yàn)镻的坐標(biāo)滿足，
所以=。
當(dāng)m=1時(shí)，取得最小值-5，此時(shí)n=9，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，9）。
所以△AEP=8，所以△AEP=S。
⑴由題意可知，原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4） ，可求出原拋物線的解析式，從而求得新拋物線的解析式
⑵通過△ADF和△OEA全等，可得∠AFD=∠OAE，從而得出結(jié)論
⑶連結(jié)DE，則新拋物線與DE圍成的圖形的面積等于原拋物線與AO圍成的圖形的面積，求得，得出結(jié)論