Question

【題目】將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，且與AD交于點 E，分別連接EB，EC．
（1）求證：EC平分∠AEB；
（2）求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，

∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB

（2）解：如圖，設(shè)AB與CE交于點M．

∵EC平分∠AEB，

∴ = ．

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB為直徑的圓經(jīng)過點E，

∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE= = ，

∴AE= BE，

∴ = = ．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．

在△AFM與△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，

∴△AFM∽△BGM，

∴ = = ，

∴ = = = ．

【解析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據(jù)圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）設(shè)AB與CE交于點M．根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出 = ．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，那么 = = ．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 = = ，進而求出 = = = ．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．