Question

【題目】已知二次函數(shù)（k＞0）．

（1）當k=時，求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

（2）求證：關于x的一元次方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（3）如圖，該二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于C點，P是y軸負半軸上一點，且OP=1，直線AP交BC于點Q，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（1，）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）直接將k的值代入函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標；

（2）利用根的判別式得出△=1，進而得出答案；

（3）根據(jù)題意首先表示出Q點坐標，以及表示出OA，AB的長，再利用兩點之間距離求出AQ的長，進而求出答案．

試題解析：（1）將k=代入二次函數(shù)可求得，=，故拋物線的頂點坐標為：（1，）；

（2）∵一元次方程，∴△===1＞0，∴關于x的一元次方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（3）由題意可得：點P的坐標為（0，1），則，（x﹣k﹣1）（x﹣k）=0，故A（k，0），B（k+1，0），當x=0，則y=，故C（0，），則AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得：=，=，當=，解得：x=，則代入原式可得：y=，則點Q坐標為（，）．運用距離公式得：==，則，=1，故===，則．