Question

如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．
如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時(shí)，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²）（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OP∥AC；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考數(shù)據(jù)：114²=12996，115²=13225，116²=13456或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

分析：（1）由于O是EF中點(diǎn)，因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG∥AC，據(jù)此可求出x的值．
（2）由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則，可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達(dá)式（也可用相似三角形來得出AH、FH的長）．三角形OFP中，可過O作OD⊥FP于D，PF的長易知，而OD的長，可根據(jù)OF的長和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數(shù)式中即可得出x的值．

解答：解：（1）∵Rt△EFG∽R(shí)t△ABC
∴

EG

AC

=

FG

BC

，

4

8

=

FG

6

∴FG=

4×6

8

=3cm
∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x=

1 2 FG

1

=

1

2

×3=1.5（s）
∴當(dāng)x為1.5s時(shí)，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴

EG

AH

=

EF

AF

=

FG

FH

∴AH=

4

5

（x+5），F(xiàn)H=

3

5

（x+5）
過點(diǎn)O作OD⊥FP，垂足為D

∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)
∴OD=

1

2

EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四邊形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=

1

2

•AH•FH-

1

2

•OD•FP
=

1

2

•

4

5

（x+5）•

3

5

（x+5）-

1

2

×2×（3-x）
=

6

25

x²+

17

5

x+3（0＜x＜3）．

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24
則S_{四邊形OAHP}=

13

24

×S_△ABC
∴

6

25

x²+

17

5

x+3=

13

24

×

1

2

×6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=

5

2

，x₂=-

50

3

（舍去）
∵0＜x＜3
∴當(dāng)x=

5

2

（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．

點(diǎn)評(píng)：本題是比較常規(guī)的動(dòng)態(tài)幾何壓軸題，第1小題運(yùn)用相似形的知識(shí)容易解決，第2小題同樣是用相似三角形建立起函數(shù)解析式，要說的是本題中說明了要寫出自變量x的取值范圍，而很多試題往往不寫，要記住自變量x的取值范圍是函數(shù)解析式不可分離的一部分，無論命題者是否交待了都必須寫，第3小題只要根據(jù)函數(shù)解析式列個(gè)方程就能解決．