【題目】如圖,Rt△ABC的場地上,∠B90°,ABBC∠CAB的平分線AEBC于點(diǎn)E.甲、乙兩人同時(shí)從A處出發(fā),以相同的速度分別沿ACA→B→E線路前進(jìn)甲的目的地為C,乙的目的地為E.請(qǐng)你判斷一下甲、乙兩人誰先到達(dá)各自的目的地?并說明理由

【答案】同時(shí)到達(dá)

【解析】試題分析:

由題意可知這里是要比較AB+BEAC的大小關(guān)系.

如圖過點(diǎn)EEF⊥AC于點(diǎn)F,則由角平分線的性質(zhì)可得BE=EF,證△EFC是等腰直角三角形可得EF=EC,從而可得BE=FC;再證△ABE≌△AFE可得AB=AF,從而可得AB+BE=AC,說明甲、乙二人會(huì)同時(shí)達(dá)到目的地.

試題解析

甲、乙會(huì)同時(shí)到達(dá)目的地.理由如下:

過點(diǎn)EEF⊥AC于點(diǎn)F,∵AE平分∠CAB,∠B=90°,

∴EFEB,∠CAE=∠BAE,

∵ABBC,∠B90°,

∴∠C.

∵EF⊥AC,

∴∠EFC90°,

∴∠CEF90°∠C45°∠C,

∴EFCF.

∴BE=CF,

在△AEF和△AEB中, ,

△AEF≌△AEB,

∴AFAB

∴ABBEAFCFAC,故甲乙同時(shí)到達(dá)目的地

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∵EF∥CD,
∴∠D+∠DEF=180°,(
∵∠B+∠BED+∠D=360°,(已知)
∴∠B+∠BEF=∠B+∠BED+∠D﹣(∠D+∠DEF)=360°﹣180°=180°
∴EF∥AB,(
, (平行于同一直線的兩直線平行)
(2)如圖2,已知∠BED=∠B+∠D,求證AB∥CD. 證明:過E點(diǎn)作EF∥CD(過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行)
∵EF∥CD,
∴∠D=∠FED,(
∵∠BED=∠B+∠D(已知)
∴∠B=∠BEF﹣∠D=∠BED﹣∠FED=∠BEF,
, (
. (平行于同一直線的兩直線平行)

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