Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙O₁經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B．
（1）若點(diǎn)O到直線AB的距離為

12

5

，且tan∠B=

3

4

，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)O到直線AB的距離為

12

5

，過點(diǎn)A的切線與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)O的切線交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B的切線交OD于點(diǎn)E，求

1

CD

+

1

BE

的值；
（3）如圖，若⊙O₁經(jīng)過點(diǎn)M（2，2），設(shè)△BOA的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變，求出其值；若變化，求其變化的范圍．

Answer 1

分析：（1）已知點(diǎn)O到直線AB的距離為

12

5

，且tan∠B=

3

4

，從O點(diǎn)作AB的垂線，利用三角函數(shù)關(guān)系求出OA、OB和OB的關(guān)系，利用△AOB的面積公式可求出AB的長(zhǎng)度；
（2）延長(zhǎng)BE交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，∵DO=DA，∴∠DOA=∠DAO，∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可證：EB=EO=EF，根據(jù)平行線段成比例的原理，可以求出結(jié)果．

解答：解：（1）作OG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，
∵tan∠B=

3

4

，設(shè)OA=3k，OB=4k，
∴AB=5k，（1分）
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB，即3k×4k=5k×

12

5

，∴k=1，（3分）
∴AB=5；（4分）


（2）延長(zhǎng)BE交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，
∵DO=DA，
∴∠DOA=∠DAO，
∴∠COD=∠DCO，DO=DA=DC，同理可證：EB=EO=EF，（5分）
又∵AC∥OG∥BF，
∴

OG

2CD

=

OG

AC

=

BG

BA

，∴

OG

2BE

=

OG

BF

=

AG

AB

，

OG

2CD

+

OG

2BE

=

BG+AG

AB

=1，
即

1

CD

+

1

BE

=

2

OG

，（8分）
而OG=

OA×OB

AB

=

12

5

，∴

1

CD

+

1

BE

=

5

6

；（9分）

（3）d+AB的值不會(huì)發(fā)生變化．
設(shè)△AOB的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T，則d+AB=OQ+OP+QB+PA=OA+OB，
在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN，
∵OM平分∠AOB，
∴∠BOM=∠MON=45°，AM=BM；
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，（12分）
∴∠BOM=∠N=45°，
∴∠OMN=90°，
∴OA+OB=ON=

OM2+MN2

=

2

OM=4，
∴d+AB的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵要熟練掌握坐標(biāo)的有關(guān)知識(shí)，利用圖形結(jié)合來解決．