Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)、，交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)可得出c的值，然后由對(duì)稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x，可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到AB的長(zhǎng)，再求出MN的長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱可求出OE的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a的值代入P點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案．

解：（1）將點(diǎn)C（0，3）代入得c=3，

又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴-=1，解得b=2，

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖，

令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，

代入二次函數(shù)表達(dá)式得，y=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線MN對(duì)稱，

∴CE=2×（3-）=，

∴OE=OC-CE=；

（3）如圖，過點(diǎn)E作x軸的平行線EH，分別過點(diǎn)F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+3，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，-a+3），則EG=a，FG=-a+3-=-a+．

∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，

∴．

∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．

∴，

∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，

∴xP=a，yP=-a++=-a+，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a+），

又點(diǎn)P在拋物線y=-x2+2x+3上，

∴-a+=-a2+3a+3，化簡(jiǎn)得9a2-18a+5=0，

解得a=或a=，符合題意，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，)．