Question

（2013•潮南區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點(diǎn)，BC交⊙O于D點(diǎn)，CD=BD，∠C=70°，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：
①∠A=45°；②AC=AB；③

AE

=

BE

；④CE•AB=2BD²
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：連接AD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到AD垂直于BC，再由D為BC的中點(diǎn)，利用線段垂直平分線定理得到AC=BC，故②正確，再利用等邊對(duì)等角得到∠B=∠C，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，即可對(duì)于①作出判斷；連接ED，利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，得到兩對(duì)角線段，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，得到三角形CDE與三角形ABC相似，由相似得比例，即可對(duì)于④中的式子作出判斷；連接OE，OE不一定與AB垂直，故弧AE不一定等于弧BE，即可得到正確的選項(xiàng)．

解答：解：連AD，ED，OE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，故選項(xiàng)②正確；
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
∵四邊形AEDB為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CED=∠B，∠CDE=∠BAC，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

CA

=

CE

CB

，即CA•CE=CD•CB，
又CA=AB，CD=BD=

1

2

BC，
則CE•AB=2BD²，故選項(xiàng)④正確；
而EO不一定垂直于AB，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤，
則其中正確的有2個(gè)．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．