Question

【題目】（1）（學(xué)習(xí)心得）于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易.例如：如圖1，在中，,是外一點(diǎn)，且,求的度數(shù).若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助，則、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到=________.

（2）（問題解決）如圖2，在四邊形中，,,求的度數(shù).

（3）（問題拓展）如圖3，是正方形的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足.連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),若正方形的邊長為2，則線段長度的最小值是_______.

Answer 1

【答案】（1）45；（2）25°；（3）

【解析】

（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．

（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC＝∠BAC，

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2＝∠3，從而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小．

（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝25°；

（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1＋∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°90°＝90°，

取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，

則OH＝AO＝AB＝1，

在Rt△AOD中，OD＝，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH＋DH＞OD，

∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小，

最小值＝ODOH＝1．