Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP交對角線BD于點E,.作線段AP的中垂線MN分別交線段DC,DB,AP,AB于點M,G,F，N.

（1）求證：；

（2）若，求.

（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CF，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由等角對等邊可得，再由對頂角相等推出，然后利用等角的余角相等即可得證；

（2）在中，利用勾股定理可求出BD=10，然后由等角對等邊得到，進而求出BP=2，再利用推出，由垂直平分線推出，即可得到的值；

（3）連接CG，先由勾股定理求出，由（2）的條件可推出BE=DG，再證明△ABE≌△CDG，從而求出，并推出，最后在中，即可求出的值.

（1）證明：，

∵MN⊥AP

∴∠GFE=90°

∴∠BGN+∠GEF=90°

又

（2）在矩形ABCD中，

∴在中，

又∵在矩形ABCD中，

∴

∵MN垂直平分AP

（3）如圖，連接CG，

在中，

在中，

又∵在矩形ABCD中，

在△ABE和△CDG中，

∵AB=DC，∠ABE=∠CDG，BE=DG

∴在中，