Question

如圖，設AB為半圓直徑，弦AC和BD交于點E，求證：AB²=AE•AC+BE•BD．

Answer 1

證明：連接BC，AD，
根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠C=∠D=90°，
根據(jù)相交弦定理，得AE•CE=DE•EB
∴AE•AC+BE•BD=AC²-AC•CE+BD²-BD•DE
=AB²-BC²+AB²-AD²-AC•CE-BD•DE
=2AB²-BE²+CE²-AE²+DE²-AC•CE-BD•DE
=2AB²-AE•AC-BE•BD，
∴AE•AC+BE•BD=AB²．
分析：連接AD、BC構造出兩個直角，再利用相交弦定理和勾股定理列式后，進行整式變形即可求解．
點評：本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定與性質，此題要熟練運用相交弦定理、勾股定理以及整式的變形整理．