Question

如圖①，矩形紙片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．
（1）將矩形紙片ABCD沿折線AE對(duì)折，使AB邊與AD邊重合，B點(diǎn)落在F點(diǎn)處，如圖②所示，再剪去四邊形CEFD，余下部分如圖③所示，若將余下的紙片展開(kāi)，則所得的四邊形ABEF的形狀是

 

，它的面積為

 

cm²；
（2）將圖③中的紙片沿折線AG對(duì)折，使AF與AE邊重合，F(xiàn)點(diǎn)落在H點(diǎn)處．如圖④所示，再沿HG將△HGE剪下，余下的部分如圖⑤所示，把圖⑤的紙片完全展開(kāi)，請(qǐng)你在圖⑥的矩形ABCD中畫(huà)出展開(kāi)后圖形的示意圖，剪去的部分用陰影表示，折痕用虛線表示；
（3）求圖④中剪去的△HGE的展開(kāi)圖的面積（結(jié)果用含有根式的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）∵∠A=∠B=∠AFE=90°，∴四邊形ABEF是矩形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF是正方形，面積等于AB²=100；
（2）動(dòng)手操作后可很快得到答案；
（3）易得AE=10

2

，那么AH=AF=10，AH=AF=10

2

-HE，那么HE=10

2

-10；∴展開(kāi)圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2

2

）cm²．

解答：解：（1）正方形，100；
（2）如右圖．
（3）正方形的對(duì)角線AE=10

2

，
∵AH=AF=10，AH=AF=10

2

-HE，
∴HE=10

2

-10，
∴展開(kāi)圖的面積=GH×HE÷2×2=100（3-2

2

）cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道精彩的綜合題型，它主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作、空間想象和幾何計(jì)算能力，其題材來(lái)源于日常生活生活，設(shè)計(jì)由簡(jiǎn)到繁，不同層次的學(xué)生都能在本題上有所收獲．折紙操作題目是近年出現(xiàn)的考查動(dòng)手操作和展示數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的題型，本題在繼承的基礎(chǔ)上又有所創(chuàng)新，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生將每一次折、剪后的結(jié)果用不同的形式表現(xiàn)出來(lái)，考查了學(xué)生的空間想象能力．第2小題的解法有多種，不同思維習(xí)慣，不同程度的學(xué)生的解法有難易之分，但都考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，對(duì)于空間觀念較強(qiáng)的學(xué)生，他可以借助“頭腦操作”，將圖形逐步還原，再畫(huà)出展開(kāi)后的圖形；而對(duì)于習(xí)慣動(dòng)手實(shí)踐的學(xué)生，他也可以在考場(chǎng)中親手經(jīng)歷折疊、剪切、展開(kāi)的過(guò)程，直接將操作結(jié)果畫(huà)出．這樣的設(shè)計(jì)尊重了學(xué)生的認(rèn)知差異，讓不同層次學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能得到適當(dāng)?shù)陌l(fā)展．第3小題的計(jì)算同樣也有多種思路，分別考查了學(xué)生利用勾股定理，三角函數(shù)、三角形全等、軸對(duì)稱等多方面知識(shí)，還考查了整體與部分關(guān)系的數(shù)學(xué)思想．