【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過點E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.

(1)求證:四邊形BFEP為菱形;

(2)當點E在AD邊上移動時,折痕的端點P、Q也隨之移動;

①當點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長;

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動,求出點E在邊AD上移動的最大距離.

【答案】(1)證明見解析(2)①②2cm

【解析】試題分析:(1)利用定理:四條邊都相等的四邊形是菱形,證明四邊形BFEP為菱形;

(2)①在直角三角形APE中,根據(jù)勾股定理求出EP=

分兩種情況討論:第一:點Q和點C重合;第二:點P和點A重合

試題解析:(1折疊紙片使B點落在邊AD上的E處,折痕為PQ

B與點E關(guān)于PQ對稱

∴PB=PEBF=EF,∠BPF=∠EPF

∵EF∥AB

∴∠BPF=∠EFP

∴∠EPF=∠EFP

∴EP=EF

∴BP=BF=FE=EP

四邊形BFEP為菱形.

2如圖2

四邊形ABCD是矩形

∴BC=AD=5cmCD=AB=3cm,∠A=∠D=90°

B與點E關(guān)于PQ對稱

∴CE="BC=5cm"

RtΔCDE中,DE2=CE2-CD2,即DE2=52-32

∴DE=4cm

∴AE=AD-DE=5cm-4cm=1cm

RtΔAPE中,AE=1,AP=3-PB=3-PE

∴EP2=12+3-EP2,解得:EP=cm.

菱形BFEP的邊長為cm.

當點Q與點C重合時,如圖2,點EA點最近,由知,此時AE=1cm.

當點P與點A重合時,如圖3.EA點最遠,此時,四邊形ABQE是正方形.

AE=AB=3cm

E在邊AD上移動的最大距離為2cm.

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