【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E是AB上一動點(不與點A,B重合),點F在AD上,過點E作EG⊥EF交BC于點G,連接FG.

(1)當(dāng)BE=AF時,求證:EF=EG
(2)若AB=4,AF=1,且設(shè)AE=n,
①當(dāng)FG∥AB時,求n的值;

【答案】
(1)

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠A=∠B=90°,

∵EG⊥EF,

∴∠AEF+∠BEG=90°,

∵∠AFE+∠AEF=90°,

∴∠AFE=∠BEG,

在△AEF和△BGE中,

,

∴△AEF≌△BGE(ASA),

∴EF=EG;


(2)

∵FG∥AB,

∴BG=AF=1,

∵AB=4,AE=n,

∴BE=4﹣n,

由(1)可得∠A=∠B=90°,∠AFE=∠BEG,

∴△AEF∽△BGE,

= ,即 = ,

∴解得n1=2﹣ ,n2=2+ ;

②當(dāng)BG取最大值時,求△EFG的面積.

∵△AEF∽△BGE,

= ,

∴BG= =n(4﹣n)=﹣n2+4n=﹣(n﹣2)2+4,

∴當(dāng)n=2時,BG有最大值4,

此時點G與點C重合,

∴EF= = = ,

EG= = =2 ,

∴△EFG的面積= EG×EF= × ×2 =5.


【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),判定△AEF≌△BGE,即可得出EF=EG;(2)①根據(jù)∠A=∠B=90°,∠AFE=∠BEG,即可判定△AEF∽△BGE,進而得到 = ,即 = ,據(jù)此可得n的值;②根據(jù)△AEF∽△BGE,得出 = ,即BG= =n(4﹣n)=﹣n2+4n=﹣(n﹣2)2+4,進而得到當(dāng)n=2時,BG有最大值4,據(jù)此可得點G與點C重合,再根據(jù)勾股定理求得EF= = ,EG= =2 ,最后根據(jù)△EFG的面積= EG×EF進行計算即可.
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等;對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題.

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被調(diào)查考生選擇意向統(tǒng)計表

根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息,解答下列問題:

(1)求本次被調(diào)查的考生總?cè)藬?shù)及a、b、c的值;

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A.
B.
C.
D.

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