Question

【題目】△ABC的三邊長分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．

（1）判斷三角形的形狀；

（2）若以邊b為直徑的半圓面積為2π，求△ABC的面積；

（3）若以邊a、b為直徑的半圓面積分別為p、q，求以邊c為直徑的半圓面積．（用p、q表示）

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，見解析；（2）△ABC的面積＝6；（3）以邊c為直徑的半圓面積＝p+q．

【解析】

（1）先求出a2+b2及c2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進行解答即可；

（2）先求出b＝4，得出n＝2，a＝3，即可得出答案；

（3）由圓面積公式得出 ，，再由勾股定理和圓面積公式進一步求解即可得出答案．

（1）△ABC是直角三角形，理由如下：

∵在△ABC中，三條邊長分別是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n＞1），

∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，

∴a2+b2＝c2，

∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形．

（2）∵以邊b為直徑的半圓的半徑為r，則π（）2＝2π，

解得：b＝4，

∴2n＝4，

∴n＝2，

∴a＝3，

∴△ABC的面積＝ab＝×3×4＝6；

（3）∵以邊a、b為直徑的半圓面積分別為p、q，

∴p＝π（）2＝，q＝π（）2＝，

∵△ABC是直角三角形，

∴a2+b2＝c2，

∴以邊c為直徑的半圓面積＝π（）2＝＝（a2+b2）＝＝p+q．