Question

把兩塊完全一樣的三角板如圖1放置，其中∠BAO=∠CAO=30°，∠ABO=∠ACO=60°，B、O、C三點(diǎn)在同一條直線上，斜邊AB=AC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P由B出發(fā)，沿折線B→A→C以每秒2cm的速度向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C出發(fā)以每秒

3

cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）如圖2，把△OCA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后得到△OC′A′，當(dāng)∠COC′=∠CAO 時(shí)，求△OC′A′與△ABC重疊部分的面積；
（3）如圖3，在△OCA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜180°），設(shè)A′O所在直線與BA所在直線交點(diǎn)為E，是否存在點(diǎn)E使得△OAE為等腰三角形？若存在，直接寫出線段OE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式S△BOQ=BP•BQ•sinB即可求解；
（2）可以證得△根據(jù)S_重疊=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分A是頂角頂點(diǎn)，則AE=OA，則E可能在線段AB上，也可能在BA的延長(zhǎng)線上，利用三角函數(shù)即可求得OE的長(zhǎng)度；
當(dāng)E是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AE=OE，在△AOE中，∠EAO=30°，則利用三角函數(shù)即可求得OE的長(zhǎng)；
當(dāng)O是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，E在AB的延長(zhǎng)線上，利用三角函數(shù)即可求得OE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S=

1

2

（6-

3

t）×

3

t=-

3

2

t²+3

3

t．
當(dāng)3＜t＜2

3

時(shí)，S=

1

2

（6-

3

t）•

3

2

（12-2t）=

3

2

t²-（3

3

+9）t+18

3

；
（2）S_重疊=S_△OAB-S_△OBE-S_△ADF=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×3×

3 3

2

-

1

2

×

3 3 -3

2

×

9-3 3

2

=

27-9 3

4

；
（3）在直角△AOB中，OA=AB•cos∠BAO=6×

3

2

=3

3

，
1）當(dāng)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，AE=OA=3

3

，
分兩種情況，當(dāng)E在線段AB上時(shí)，OE=

AE2+OA2-2AE•OA•cos30°

=

9 2 -3 6

2

，
當(dāng)E在射線BA上時(shí)，OE=

AE2+OA2+2AE•OA•cos30°

=

9 2 +3 6

2

；
2）當(dāng)E是等腰三角形的頂角的頂點(diǎn)時(shí)，OE=AE=

1 2 OA

cos30°

=

3 3 2

3 2

=3；
3）當(dāng)O是等腰三角形的頂角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，OE=OA=3

3

cm，
總之，存在點(diǎn)E，使得△OAE是等腰三角形，線段OE的長(zhǎng)分別是：3或3

3

或

9 2 -3 6

2

或

9 2 +3 6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式，以及三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．