【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)Cx軸的平行線,與拋物線交于點(diǎn)D,連接DE,延長DEy軸于點(diǎn)F,連接AD、AF.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為____________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________ ;

(2)判斷四邊形ACDE的形狀,并給出證明;

(3)當(dāng)a為何值時(shí),ADF是直角三角形?

【答案】(1)點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)B(3,0);(2)四邊形ACDE是平行四邊形.證明見解析;(3)當(dāng)時(shí),△ADF為直角三角形.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的解析式可知當(dāng)y=0時(shí),x=﹣1x=3,即可得解;

(2)由(1)可得拋物線對(duì)稱軸為直線x=1,根據(jù)拋物線圖象性質(zhì)易得AE=CD=2,又因?yàn)?/span>,所以四邊形ACDE是平行四邊形

(3)過點(diǎn)DDG⊥AB于點(diǎn)G,通過“角邊角”易證△OEF ≌△DEG,OF=GD=3a,F點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3a),①∠DAF=90°,則∠DAG+∠FAO=90°,然后證明△AOF∽△DGA,得到,然后求得符合題意的a即可;∠DFA=90°,則∠DFC+∠AFO=90°,易得OF垂直平分AE,AF=EF,∠DFC=∠AFO=45°,所以OF=OA,,a=.

(1)根據(jù)題意可知,

∵y=﹣a(x+1)(x﹣3),

當(dāng)y=0時(shí),x=﹣1x=3,

點(diǎn)A(﹣1,0),點(diǎn)B(3,0);

(2)四邊形ACDE是平行四邊形.

證明如下:令,,,

點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,

∴點(diǎn)D(2,3a),E(1,0),

∴AE=CD=2,

,

四邊形ACDE是平行四邊形

(3)過點(diǎn)DDG⊥AB于點(diǎn)G,由,可知OE=GE,

∵∠FOE=∠DGE=90°,∠OEF=∠GED,

∴△OEF ≌△DEG(ASA),

∴OF=GD=3a,

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3a),

討論:∠DAF=90°,則∠DAG+∠FAO=90°,

∠FAO+∠AFO=90°,

∴∠DAG=∠AFO,

∠AOF=∠DGA=90°,

∴△AOF∽△DGA,

,

,

∵a > 0,

,

以上各步均可逆,故合題意;

∠DFA=90°,則∠DFC+∠AFO=90°,

,

∴OF垂直平分AE,

∴AF=EF,

∴∠DFC=∠AFO=45°,

∴OF=OA,

,

,

以上各步均可逆,故合題意.

綜上,當(dāng)時(shí),△ADF為直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和AD上,連接CF.

①寫出線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系;

②寫出直線CF與DG所夾銳角的度數(shù).

(2)拓展探究:

如圖②,將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過程中,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)利用圖②進(jìn)行說明.

(2)問題解決

如圖③,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=4,O為AC的中點(diǎn).若點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng),連接OE,則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,線段OE的長的最小值.(直接寫出結(jié)果)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】溫州某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每人每天生產(chǎn)2件甲或1件乙,甲產(chǎn)品每件可獲利15元.根據(jù)市場需求和生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件,當(dāng)每天生產(chǎn)5件時(shí),每件可獲利120元,每增加1件,當(dāng)天平均每件獲利減少2元.設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

(1)根據(jù)信息填表

產(chǎn)品種類

每天工人數(shù)(人)

每天產(chǎn)量(件)

每件產(chǎn)品可獲利潤(元)

15

(2)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元,求每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤.

(3)該企業(yè)在不增加工人的情況下,增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品,要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等.已知每人每天可生產(chǎn)1件丙(每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品),丙產(chǎn)品每件可獲利30元,求每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤W(元)的最大值及相應(yīng)的x值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BC=5,CD=6,DCB=60°,等邊PMN(N為固定點(diǎn))的邊長為x,邊MN在直線BC上,NC=8.將直角梯形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到①的位置,再繞點(diǎn)D1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到②的位置,如此旋轉(zhuǎn)下去.

(1)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次,如果等邊PMN的邊長為x≥5+3,求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積;

(2)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是,求等邊PMN的邊長x的范圍.

(3)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半,求等邊PMN的邊長x.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)Cx軸的平行線,與拋物線交于點(diǎn)D,連接DE,延長DEy軸于點(diǎn)F,連接AD、AF.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為____________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_________ ;

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【題目】如圖,MN表示一段筆直的高架道路,線段AB表示高架道路旁的一排居民樓,已知點(diǎn)A到MN的距離為15米,BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D,且∠BDN=30°,假設(shè)汽車在高速道路上行駛時(shí),周圍39米以內(nèi)會(huì)受到噪音(XRS)的影響.

(1)過點(diǎn)A作MN的垂線,垂足為點(diǎn)H,如果汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛,當(dāng)汽車到達(dá)點(diǎn)P處時(shí),噪音開始影響這一排的居民樓,那么此時(shí)汽車與點(diǎn)H的距離為多少米?

(2)降低噪音的一種方法是在高架道路旁安裝隔音板,當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)Q時(shí),它與這一排居民樓的距離QC為39米,那么對(duì)于這一排居民樓,高架道路旁安裝的隔音板至少需要多少米長?(精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.7)

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【題目】某校舉行數(shù)學(xué)競賽,對(duì)獲一等獎(jiǎng)的學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)家的著作《好玩的數(shù)學(xué)》,對(duì)獲二等獎(jiǎng)的學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)創(chuàng)意學(xué)生筆記本,若網(wǎng)購《好玩的數(shù)學(xué)》14/本,創(chuàng)意學(xué)生筆記本12/本,若《好玩的數(shù)學(xué)》數(shù)量比創(chuàng)意學(xué)生筆記本的數(shù)量的一半多5本,買兩種獎(jiǎng)品共用了1020元,購買兩種獎(jiǎng)品的數(shù)量各是多少本?

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【題目】如圖,均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字.小明做了60次投擲試驗(yàn),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

朝下數(shù)字

1

2

3

4

出現(xiàn)的次數(shù)

16

20

14

10

(1)計(jì)算上述試驗(yàn)中“4朝下”的頻率是   ;

(2)隨機(jī)投擲正四面體兩次,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法,求兩次朝下的數(shù)字之和大于4的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,是一座古拱橋的截面圖,拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀,當(dāng)水面的寬度為10m時(shí),橋洞與水面

的最大距離是5m

1經(jīng)過討論,同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案如下圖

你選擇的方案是_____填方案一,方案二,或方案三),B點(diǎn)坐標(biāo)是______,求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式;

2因?yàn)樯嫌嗡畮煨购?/span>水面寬度變?yōu)?/span>6m,求水面上漲的高度

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