Question

【題目】已知：如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，

（1）若AB=2，∠AOD＝120,求對(duì)角線AC的長(zhǎng)；

（2）若AC＝2AB．求證：△AOB是等邊三角形．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得OA=OB=AC，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOB，然后判斷出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OA=AB，然后求解即可；

（2）由矩形的性質(zhì)易得：AC=2AO=2BO，又因?yàn)锳C=2AB，所以AO=BO=AB，進(jìn)而可證明△AOB是等邊三角形．

試題解析：（1）∵矩形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，

∴OA=OB=AC，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA=AB=2，

∴AC=2OA=2×2=4；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，

∴AO=BO=AC，

∵AC=2AB，

∴AO=BO=AB，

∴△AOB是等邊三角形．