Question

（2013•安徽）我們把由不平行于底邊的直線(xiàn)截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱(chēng)為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線(xiàn)將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）；
（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E為邊BC上一點(diǎn)，若AB∥DE，AE∥DC，求證：

AB

DC

=

BE

EC

；
（3）在由不平行于BC的直線(xiàn)AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E．若EB=EC，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫(xiě)出你的結(jié)論．（不必說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件∠B=∠C和梯形的定義就可以畫(huà)出圖形；
（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有條件就可以得出∠ABC=∠DCB，從而得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形內(nèi)部時(shí)分兩種情況討論就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交PB于點(diǎn)E，則四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形BCDE和一個(gè)三角形ADE；

（2）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC，
∵AE∥DC，
∴∠AEB=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB，
∴AB=AE．
∵在△ABE和△DEC中，

∠B=∠DEC ∠AEB=∠C

，
∴△ABE∽△DEC，
∴

BE

EC

=

AE

DC

，
∴

AB

DC

=

BE

EC

；

（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∴∠BFE=∠CHE=90°．
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴EF=EG=EH，
在Rt△EFB和Rt△EHC中

BE=CE EF=EH

，
∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），
∴∠3=∠4．
∵BE=CE，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠4
即∠ABC=∠DCB，
∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，
∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．
當(dāng)點(diǎn)E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時(shí)，有兩種情況：
如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，同理可以證明△EFB≌△EHC，
∴∠B=∠C，
∴ABCD是“準(zhǔn)等腰梯形”．
當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD的外部時(shí)，
四邊形ABCD不一定是“準(zhǔn)等腰梯形”．
分兩種情況：
情況一：
當(dāng)∠BPC的角平分線(xiàn)與線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)重合時(shí)，四邊形ABCD為“準(zhǔn)等腰梯形”；
情況二：
當(dāng)∠BPC的角平分線(xiàn)與線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)相交時(shí)，四邊形ABCD不是“準(zhǔn)等腰梯形”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線(xiàn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)多次運(yùn)用角平分線(xiàn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．