Question

如圖，已知二次函數(shù)y=

1

2

x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）和點B（3，-2），點C是函數(shù)圖象與y軸的公共點、過點C作直線CE∥AB．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線CE的表達(dá)式；
（3）如果點D在直線CE上，且四邊形ABCD是等腰梯形，求點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由二次函數(shù)y=

1

2

x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）和點B（3，-2），兩點代入關(guān)系式解得b、c．（2）直線CE∥AB，故設(shè)直線CE的表達(dá)式為y=2x+m，又經(jīng)過C點，求出m．（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，2x-2），四邊形ABCD是等腰梯形，可知AD=BC，故能解出x．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（4，0）和點B（3，-2），
∴

0=8+4b+c -2= 9 2 +3b+c

，
解得

b=- 3 2 c=-2

，
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x2-

3

2

x-2．

（2）直線AB的表達(dá)式為y=2x-8，
∵CE∥AB，
∴設(shè)直線CE的表達(dá)式為y=2x+m．
又∵直線CE經(jīng)過點C（0，-2），
∴直線CE的表達(dá)式為y=2x-2．

（3）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，2x-2）．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，即

(x-4)2+(2x-2)2

=3．
解得x1=

11

5

，x₂=1（不符合題意，舍去）．
∴點D的坐標(biāo)為（

11

5

，

12

5

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，要求二次函數(shù)的解析式，求直線方程等．此題比較簡單．