Question

如圖所示，已知拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A（-1，0），且經(jīng)過直線y=x-3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)M在第四象限內(nèi)且在拋物線上，有OM⊥BC，垂足為D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=x-3求出其與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合待定系數(shù)法，即可求出拋物線解析式；
（2）根據(jù)直線OD和BC垂直時(shí)比例系數(shù)互為相反數(shù)，得到OD的比例系數(shù)，又直線OD過原點(diǎn)，可知其為正比例函數(shù)，即可得到OD的解析式，然后將直線和拋物線組成方程組，即可解出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=x-3與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-3）代入解析式得，
-3=a×1×（-3），
解得，a=1，
則二次函數(shù)解析式為y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3，
（2）∵OD過原點(diǎn)，
∴設(shè)OD的解析式為y=kx，
∵OM⊥BC，BC解析式為y=x-3，
∴k_OD=-1，
則OD的解析式為y=-x，
將y=x²-2x-3和y=-x組成方程組得

y=-x y=x2-2x-3

，
整理得，x²-x-3=0，
解得，x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

（不合題意，舍去），
把x₁=

1+ 13

2

代入y=-x得，
y₁=-

1+ 13

2

，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（

1+ 13

2

，-

1+ 13

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線、直線與x軸的交點(diǎn)問題、垂直直線的系數(shù)的關(guān)系，難度較大，要仔細(xì)審題．