Question

如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，點E、F在AB上，∠ECF=45°．
（1）求證：△ACF∽△BEC；
（2）設△ABC的面積為S，求證：AF•BE=2S；
（3）試判斷以線段AE、EF、FB為邊的三角形的形狀并給出證明．

Answer 1

分析：（1）對應角相等，兩三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形的性質證明AF•BE=AC•BC=2S；
（3）將△ACE繞O順時針旋轉90°到△CBG，邊角邊證明三角形全等，得出FG=EF，在證明△FBG為直角三角形，得出三邊構成三角形的形狀．

解答：證明：（1）∵AC=BC，∠ECF=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF=∠ECB=45°+∠BCF．
∴∠AFC=∠ECB．
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC，
∴

AC

BE

=

AF

BC

，
∴AF•BE=AC•BC．
∵S△ABC=

1

2

AC•BC，
∴AF•BE=2S．

（3）直角三角形．
提示：方法1：將△ACE繞點C順時針旋轉90°到△BCG，使得AC與BC重合，連接FG．
可以證明△FBG是直角三角形．
方法2：將△ACE和△BCF分別以CE、CF所在直線為軸折疊，
則AC、BC的對應邊正好重合與一條線段CG，連接GE、GF，則△FEG是直角三角形．
方法3：由（2）可知AF•BE=AC•BC=AC2=

1

2

AB2．
設AE=a，BF=b，EF=c．
則（a+b）（b+c）=

1

2

（a+b+c）²，化簡即得a²+b²=c²，
所以以線段AE、EF、FB為邊的三角形是以線段EF為斜邊的直角三角形．

點評：綜合運用了相似三角形的判定和性質，旋轉的方法將AE、EF、FB巧妙地轉化為三角形．