Question

某隧道根據(jù)地質(zhì)結(jié)構(gòu)要求其橫截面要建成拋物線拱形，計劃路面水平寬度AB=12m，根據(jù)施工需要，選取AB的中點D為支撐點，搭一個正三角形支架ADC，C點在拋物線上（如圖所示），過C豎一根立柱CO⊥AB于O．
（1）求立柱CO的長度；
（2）以O(shè)點為坐標原點，AB所在的直線為橫坐標軸，自己畫出平面直角坐標系，寫出A、B、C三點的坐標（坐標軸上的一個長度單位為1m）；
（3）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線方程；
（4）請幫助施工技術(shù)員計算該拋物線拱形的高．

Answer 1

分析：（1）由△ACD為等邊三角形，CO⊥AD得出立柱CO的長度；
（2）以O(shè)點為原點，OB為x軸，OC為y軸建立直角坐標系，求出各點坐標；
（3）設(shè)拋物線方程y=ax²+bx+c，將A、B、C三點代入即可求解；
（4）拋物線的拱高，即是求拋物線方程y的最大值．

解答：解：（1）△ADC是邊長為6的正三角形，CO是AD邊上的高，
∴AO=OD=3，
CO²=

AC2-AO2

=

36-9

=3

3

（米）

（2）畫出平面直角坐標系．
則A、（-3，0），B、（9，0），C、（0，3

3

）

（3）CO=3

3

，設(shè)拋物線方程為y=ax²+bx+3

3

把A（-3，0）、B（9，0）代入拋物線方程有

9a-3b+3 3 =0 81a+9b+3 3 =0

解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

故y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

（4）y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

=-

3

9

(x2-6x-27)=-

3

9

(x-3)2+4

3

．
故y的最大值是4

3

，即該拋物線拱形的高是4

3

m．

點評：本題考查的是同學們運用函數(shù)方程解決實際問題的能力以及最大值的求法．