Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1 cm/s，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？

(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2)，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)t取何值時(shí)，四邊形APQC的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t為1或2時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）當(dāng)t為時(shí)，四邊形APQC的面積最小，最小面積為cm2.

【解析】

（1）分情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°；在直角三角形中利用30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半求解即可；

（2）用△ABC的面積-△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積，即可得出y，t的函數(shù)關(guān)系式,再將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可求出最小值.

(1)由題意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，則∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝ (3－t)或3－t＝t.解得t＝1或t＝2，即當(dāng)t為1或2時(shí)，△PBQ是直角三角形．

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于點(diǎn)M，

則易知BM＝BP＝ (3－t)cm.

∴PM＝＝ (3－t)cm.

∴S四邊形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－t· (3－t)＝t2－t＋，即y＝t2－t＋，易知0<t<3.

于是y=（t-）2+

∴當(dāng)t＝時(shí)，y取得最小值，為

即當(dāng)t為時(shí)，四邊形APQC的面積最小，最小面積為cm2.