Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形OABC的兩邊在兩坐標(biāo)軸上，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，C，與x軸交于另一點(diǎn)D，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過P點(diǎn)作y軸的平行線交x 軸于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)E.

(1)求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過E點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)F，若以P，E，F為頂點(diǎn)的三角形與△ODC相似，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)過P點(diǎn)作PH⊥AC于H，是否存在點(diǎn)P使△PEH的周長(zhǎng)取得最大值，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)及△PEH周長(zhǎng)的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（－1，0）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；（3）存在為P使△PEH周長(zhǎng)取得最大值，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1.5，3.75），△PEH周長(zhǎng)最大值為.

【解析】分析：（1）由正方形邊長(zhǎng)是3， 得到A、C的坐標(biāo)，然后把A、C的坐標(biāo)代入，解方程即可得到拋物線解析式，令y=0，解一元二次方程即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．　

（2）設(shè)P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)，先用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x+3，設(shè)E(m，3-m)，得到PE=-m2+3m，EF=3-m．因?yàn)椤?/span>PEF=∠COD=900，故要使△PEF與△COD相似，只需或，分別解方程即可得出結(jié)論．

（3）由正方形的性質(zhì)可以得到∠PEH=∠AEQ=450．在Rt△PEH中，PH＝，EH＝．設(shè)△PEH的周長(zhǎng)為l，則l＝PE+PH+EH=()PE，故當(dāng)PE取最大值時(shí)l有最大值．而PE=-m2+3m，配方即可得出結(jié)論．　

詳解：（1）∵正方形邊長(zhǎng)是3， ∴A（3，0），C（0，3）．　

∴　．　

解得．

∴y=-x2+2x+3．

由-x2+2x+3＝0得　 x1=3，x2=-1．∴D（－1，0）．

（2）設(shè)P（m，-m2+2m+3） (0<m<3)．

設(shè)AC的解析式為：y=kx+b，

則．解得：．

∴AC：y=-x+3，E(m，3-m)．　

∴PE=-m2+2m+3-(3-m)=-m2+3m，EF=3-m

∵∠PEF=∠COD=900，∴要使△PEF與△COD相似，

只需或．

①當(dāng)時(shí)，．　解得：m1=m2=3．

∵0<m<3，所以舍去．　

②當(dāng)時(shí)，， 解得：m1=，m2=3．

∵0<m<3，所以m=．

當(dāng)x=時(shí)，y=

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（）．　

（3）∵OABC是正方形，∴∠OAB=900，AC平分∠OAB．∴∠OAC=450．

又∵∠PQA=900，∴∠AEQ=900-∠OAC=450．

∠PEH=∠AEQ=450．

在Rt△PEH中，PH＝PEsin450=，EH＝PEcos450=．　

設(shè)△PEH的周長(zhǎng)為l，則l＝PE+PH+EH=()PE，

∴當(dāng)PE取最大值時(shí)l有最大值．　

PE=-m2+3m＝－(m-1.5)2+2.25，

即當(dāng)m=1.5時(shí)PE有最大值2.25．

l最大＝()PE=．　

當(dāng)m=1.5時(shí)，-m2+2m+3＝3.75

答：存在為P使△PEH周長(zhǎng)取得最大值，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1.5，3.75），△PEH周長(zhǎng)最大值為．