Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連結AE、AD、DC．

小題1:求證：D是弧AE的中點；
小題2:求證：∠DAO＝∠B＋∠BAD；
小題3:若，且AC＝4，求CF的長．

Answer 1

小題1:證明:AC為圓O的直徑,則∠AEC=90°.
∵OD∥BC.    ∴OD⊥AE.     ∴點D是弧AE的中點.(垂徑定理) 
小題1:延長AD交BC于G,由⑴知AD=DE，∴∠ACD=∠GCD
∵AC是⊙O直徑，∴CD⊥AG, 從而證得CA="CG"
∴∠CAG=∠AGC
又∵∠AGC=∠B+∠BAD ∴∠DAO=∠B+∠BAD
小題1:∵S_△AOD= S_△OCD, ∴S_△ADC="2" S_△OCD
△CEF∽△CDA
∴ 即 ，CF="2"

本題考查垂徑定理的應用與相似三角形的性質。