Question

矩形ABCD中AB=8，BC=6，∠ACB=53°；將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△AB′C′，使點C′落在AD延長線上（圖1）．
（1）求∠B′AC的度數與C′D的長度；
（2）如圖2 將△AB′C′向右平移得△A′B′C′，兩直角邊與矩形相交于點E、F；在平移的過程中出現了△AA′E≌△DFC′；求此時平移的距離AA′．（設AA′=x）
（3）當平移的距離是多少時，能使△B′EF與原△ABC相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質得出BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，求出∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=37°，即可求出答案；勾股定理求出AC=10=AC′，求出C′D即可；
（2）證△A′AE∽△A′B′C′求出AE=，根據△AA′E≌△DFC′，得出AE=C′D，得出方程10-6-x=x，求出方程的解即可；
（3）根據△A′AE∽△A′B′C′求出A′E=x，B′E=8-x，根據△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4-x），B′F=6-（4-x），當滿足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6，兩三角形相似，代入求出即可．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，BC∥AD，∠B=90°，
∴∠BCA=∠CAD=53°，∠BAC=∠B′AC′=90°-53°=37°，
∴∠B′AC=53°-37°=16°，
在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：AC=10=AC′，
∴C′D=10-6=4；

（2）∵∠A′=∠A′，∠C′B′A′=∠EAA′=90°，
∴△A′AE∽△A′B′C′，
∴=，
∴=，
∴AE=，
∵△AA′E≌△DFC′，
∴AE=C′D，
∴10-6-x=x，
x=，
即此時平移的距離AA′是；

（3）
∵△A′AE∽△A′B′C′，
∴=，
∴=，
∴A′E=x，
∴B′E=8-x，
同理由△C′DF∽△A′B′C′求出C′F=（4-x），
∴B′F=6-（4-x），
當滿足B′E：B′F=6：8或B′E：B′F=8：6時，能使△B′EF與原△ABC相似
即（8-x）：[6-（4-x）]=6：8或（8-x）：[（6-（4-x）]=8：6，
解得：x=3.4或x=，
∴當平移的距離是3.4或x=時，能使△B′EF與原△ABC相似．
點評：本題考查了矩形性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．