Question

如圖，E是矩形ABCD邊BC的中點，P是AD邊上一動點，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分別為F，H．
（1）當矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時，四邊形PHEF是矩形？請予以證明；
（2）在（1）中，動點P運動到什么位置時，矩形PHEF變?yōu)檎�方形？為什么�?br />

Answer 1

【答案】分析：（1）當四邊形PFEH是矩形時，∠FEH=90°；易證得△ABE≌△DCE，則∠AEB=∠DEC=45°；那么△ABE、△DCE是等腰直角三角形，此時AB=BE=EC=CD，故矩形ABCD滿足長是寬的2倍時，四邊形PFEH是矩形；
（2）若矩形PHEF是正方形，則PF=PH，此時可證得△PAF≌△PDH，則AP=PD，所以當P為AD中點時，矩形PHEF變?yōu)檎�方形�?br />解答：解：（1）AD=2AB．
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中點，
∴AB=BE=EC=CD；
則△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四邊形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四邊形PFEH是矩形；

（2）點P是AD的中點時，矩形PHEF變?yōu)檎�方形；理由如下�?br />由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．
點評：此題主要考查了矩形、等腰直角三角形、全等三角形的判定和性質，以及正方形的判定．熟練掌握各特殊平行四邊形的判定和性質是解答此題的關鍵．