Question

【題目】直線：，與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，拋物線:，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）若，求此時(shí)拋物線的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在直線與拋物線圍成的封閉圖形邊界上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“神秘點(diǎn)”，求出在（l）的條件下“神秘點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

（3）①直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)會(huì)變嗎？說(shuō)明理由；

②若拋物線與直線在的范圍內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)為，；（2）①不會(huì)變，理由見(jiàn)解析；②，，

【解析】

（1）將a=1代入一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將a的值及 A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求得b的值，然后利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）通過(guò)聯(lián)立方程組求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定“神秘點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

（3）①將一次函數(shù)變形為，然后分析無(wú)論取何非零實(shí)數(shù)，恒為0，從而求解；

②結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)求得拋物線的解析式及對(duì)稱軸，然后分a＞0，a＜0時(shí)結(jié)合函數(shù)圖像討論求得a的取值范圍．

解：（1）若，，當(dāng)時(shí)，

∴，

將代入，可得

∴

∴頂點(diǎn)為

∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱

∴

（2）設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，

，

解得，，所以交點(diǎn)為和，

所以，直線上神秘點(diǎn)為，，，，，共6個(gè)，

拋物線上神秘點(diǎn)為，，，共4個(gè)，

綜上，神秘點(diǎn)個(gè)數(shù)為10；

（1）①不會(huì)變，，

當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何非零實(shí)數(shù)，恒為0，

所以，直線永遠(yuǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)坐標(biāo)不會(huì)改變；

②，，

由①知恒過(guò)

∴過(guò)∴∴

∴

∴與軸恒交于，

對(duì)稱軸為不變

∵與在有唯一公共點(diǎn)

∴當(dāng)時(shí)過(guò)

解得

∵開(kāi)口越小，越大

∴

當(dāng)時(shí)

①頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)為

∴

②拋物線恰好過(guò)

∴

∴

綜上，，時(shí)拋物線與在有唯一公共點(diǎn)