Question

已知二次函數(shù)y=-

1

4

x2+

3

2

x的圖象如圖．
（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對稱軸公式求出x=-

b

2a

，求出即可；
（2）假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點坐標，再利用勾股定理求出即可；
（3）由拋物線的解析式y=-

1

4

x2+

3

2

x+4可得，A，B，C，M各點的坐標，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．

解答：解：（1）由y=-

1

4

x2+

3

2

x，
得x=-

b

2a

=-

3 2

2×(- 1 4 )

=3，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
如圖1，設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

4

x2+

3

2

x+k，
則C（0，k）OC=k，
令y=0即-

1

4

x2+

3

2

x+k=0，
得x1=3+

4k+9

，x₂=3-

4k+9

，
∴A(3-

4k+9

，0)，B(3+

4k+9

，0)，
∴AB2=(

4k+9

+3-3+

4k+9

)2=16k+36，
AC2+BC2=k2+(3-

4k+9

)2+k2+(3+

4k+9

)2=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²
即：2k²+8k+36=16k+36，
得k₁=4，k₂=0（舍去），
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x2+

3

2

x+4，

方法二：
∵y=-

1

4

x2+

3

2

x，∴頂點坐標(3，

9

4

)，
設(shè)拋物線向上平移h個單位，則得到C（0，h），頂點坐標M(3，

9

4

+h)，
∴平移后的拋物線：y=-

1

4

(x-3)2+

9

4

+h，
當(dāng)y=0時，-

1

4

(x-3)2+

9

4

+h=0，得x1=3-

4h+9

，x₂=3+

4h+9

，
∴A(3-

4h+9

，0)，B(3+

4h+9

，0)，
∵∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，則OC²=OA•OB（6分），
即h2=(

4h+9

-3)(

4h+9

+3)，
解得h₁=4，h₂=0（不合題意舍去），
∴平移后的拋物線：y=-

1

4

(x-3)2+

9

4

+4=-

1

4

(x-3)2+

25

4

；

（3）方法一：
如圖2，由拋物線的解析式y=-

1

4

x2+

3

2

x+4可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，

25

4

)，
過C、M作直線，連接CD，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，
∴DM2=(

25

4

)2=

625

16

，
CM2=MH2+CH2=32+(

25

4

-4)2=

225

16

，
在Rt△COD中，CD=

32+42

=5=AD，
∴點C在⊙D上，
∵DM2=(

25

4

)2=

625

16

CD2+CM2=52+

225

16

=(

25

4

)2=

625

16

，
∴DM²=CM²+CD²
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直線CM與⊙D相切．

方法二：
如圖3，由拋物線的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，

25

4

)，
作直線CM，過D作DE⊥CM于E，過M作MH垂直y軸于H，則MH=3，DM=

25

4

，由勾股定理得CM=

15

4

，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽Rt△DME，
∴

DE

MH

=

MD

CM

得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半徑為5．
∴直線CM與⊙D相切．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問題的關(guān)鍵．