Question

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得CD=AD，∠CDP=∠ADP，證明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性質(zhì)得CD∥BA，可證△CPD∽△FPB，利用相似比，結(jié)合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點(diǎn)，又PA⊥BF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴

DP

PB

=

CD

BF

=

CP

PF

=

1

2

，
∴CD=

1

2

BF，CP=

1

2

PF，
∴A為BF的中點(diǎn)，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=

1

2

PB，在Rt△PAB中，
PB²=2²+（

1

2

PB）²，
解得PB=

4

3

3

，
則PD=

2

3

3

，
∴BD=PB+PD=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)菱形的四邊相等，對(duì)邊平行及菱形的軸對(duì)稱性解題．