Question

如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE=

2

3

BC，BE與CD相交于點(diǎn)O，AO與BC、DE分別交于點(diǎn)M、N，CN與BE交于點(diǎn)F，連接FM，求證：FM=

1

4

AB．

Answer 1

分析：先證明N為重心，然后延長(zhǎng)CN交AB于G點(diǎn)，則G為AB中點(diǎn)，F(xiàn)M為中位線，由此得證．

解答：證明：∵DE∥BC，且DE=

2

3

BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEN∽△AMC
∴

DE

BC

=

2

3

=

AE

AC

，

AE

AC

=

AN

AM

，
∴

AN

AN

=

2

3

，即

AN

NM

=2：1．
∴N為重心，∴BM=MC，
延長(zhǎng)CN交AB于G點(diǎn)，則G為AB中點(diǎn)，
由△NFE∽△BFC得

NF

FC

=

NE

BC

=

1

3

，
∴FC=

3CN

4

，∵CN=

2

3

CG，
∴FC=

1

2

，所以F為中點(diǎn)，則FM為△BCG的中位線，
∴FM=

1

2

BG=

AB

4

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定和性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2﹕1．證出FM為中位線，然后即可證明．