Question

在圖1中，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．∠ABC=∠ADC=90°，
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）求證：AD+AB=AC；
（3）把題中的條件“∠ABC=∠ADC=90°”改為∠ABC+∠ADC=180°，且DC=BC，如圖2，其他條件不變，則（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用AAS即可證明兩三角形全等；
（2）根據(jù)直角三角形中30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可證得AC=2AD，AC=2AB，從而證明；
（3）在AN上截取AE=AC，連接CE，證明△ADC≌△EBC，則AB+AD=AB+BE=AE，然后證明△CAE為等邊三角形，則AD+AB=AC．

解答：證明：（1）∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN．
∴∠DAC=∠BAC=60
∵在△ACD和△ACB中，

∠DAC=∠BAC ∠ABC=∠ADC AC=AC

，
∴△ACD≌△ACB （AAS）

（2）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AD=2AB
∴AD=AB
∴AD+AB=AC．

（3）（1）中的結(jié)論AD+AB=AC成立，
理由如下：如圖2，在AN上截取AE=AC，連接CE，
∵在△ADC和△EBC中，

∠DAC=∠BAC ∠ADC=∠EBC AE=AC

，
∴△ADC≌△EBC
∵∠BAC=60°，
∴DA=BE
∴△CAE為等邊三角形，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∴AD+AB=AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明選段相等的問題，基本的思路是轉(zhuǎn)化成三角形全等．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．