【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在第一象限),點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上.
(1)已知a=1,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2.
①如圖1,向右平移拋物線L使該拋物線過(guò)點(diǎn)B,與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,求AC的長(zhǎng).
②如圖2,若BD=AB,過(guò)點(diǎn)B,D的拋物線L2,其頂點(diǎn)M在x軸上,求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)如圖3,若BD=AB,過(guò)O,B,D三點(diǎn)的拋物線L3,頂點(diǎn)為P,對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a3,過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸,交拋物線L于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求的值,并直接寫出的值.
【答案】(1)①;②y=4(x﹣)2;(2);
【解析】試題分析:(1)①根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),求出AC的長(zhǎng);
②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N,根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性求出OM,利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K,設(shè)OK=t,得到OG=4t,利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B(t,at2),求出的值,根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出的值.
試題解析:(1)①二次函數(shù)y=x2,當(dāng)y=2時(shí),2=x2,
解得x1=,x2=-,
∴AB=2.
∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,
∴BC=AB=2,
∴AC=4.
②作拋物線L2的對(duì)稱軸與AD相交于點(diǎn)N,如圖2,
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性,得BN=DB=,
∴OM=.
設(shè)拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-)2,
由①得,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2),
∴2=a(-)2,
解得a=4.
拋物線L2的函數(shù)表達(dá)式為y=4(x-)2;
(2)如圖3,拋物線L3與x軸交于點(diǎn)G,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q,
過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K,
設(shè)OK=t,則AB=BD=2t,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t,at2),
根據(jù)拋物線的軸對(duì)稱性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t.
設(shè)拋物線L3的函數(shù)表達(dá)式為y=a3x(x-4t),
∵該拋物線過(guò)點(diǎn)B(t,at2),
∴at2=a3t(t-4t),
∵t≠0,
∴,
由題意得,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2t,-4a3t2),
則-4a3t2=ax2,
解得,x1=-t,x2=t,
EF=t,
∴.
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(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng),直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).
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①42﹣12=3×5;
②52﹣22=3×7;
③62﹣32=3×9;
④72﹣42=3×11;
…
則第n(n是正整數(shù))個(gè)等式為 .
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