Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E，連接BD．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若BD＝3，AD＝4，則DE＝ ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，如圖，先證明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）證明△ABD∽△ADE，通過線段比例關系求出DE的長.

（1）證明：連接OD

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠DAC

∵OA＝OD

∴∠BAD＝∠ODA

∴∠ODA＝∠DAC

∴OD∥AE

∴∠ODE＋∠E＝180°

∵DE⊥AE

∴∠E＝90°

∴∠ODE＝180°－∠E＝180°－90°＝90°，即OD⊥DE

∵點D在⊙O上

∴DE是⊙O的切線.

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAE，

在△ABD和△ADE中，

，

∴△ABD∽△ADE，

∴,

∵BD＝3，AD＝4，AB==5

∴DE==.