Question

某工廠計劃為學校生產(chǎn)A，B兩種型號的學生桌椅500套，以解決1254名學生的學習問題，一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，工廠現(xiàn)有庫存木料302m³。
（1）有多少種生產(chǎn)方案？
（2）現(xiàn)要把生產(chǎn)的全部桌椅運往學校銷售，已知每套型桌椅售價150元，生產(chǎn)成本100元，運費2元；每套型桌椅售價200元，生產(chǎn)成本120元，運費4元，求總利潤（元）與生產(chǎn)型桌椅（套）之間的關系式，并確定總利潤最少的方案和最少的總利潤。（利潤售價－生產(chǎn)成本－運費）
（3）按（2）的方案計算，有沒有剩余木料？如果有，請直接寫出用剩余木料再生產(chǎn)以上兩種型號的桌椅，最多還可以為多少名學生提供桌椅；如果沒有，請說明理由。

Answer 1

（1）7種；（2）生產(chǎn)型桌椅246套、型桌椅254套時，總利潤有最小值31118元；
（3）有剩余木料，最多為5名學生提供桌椅.

試題分析：（1）設生產(chǎn)A型桌椅x套，則生產(chǎn)B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，表示出所需的木料數(shù)，根據(jù)所需的木料數(shù)小于等于302列出不等式，再由A型一桌兩椅，B型一桌三椅，計算出提供多少學生的桌椅，大于等于1254列出不等式，兩不等式聯(lián)立組成不等式組，求出不等式組的解集，得到x的范圍，再由x為正整數(shù)即可求得結果；
（2）由利潤=售價-生產(chǎn)成本-運費，分別表示出A型桌椅與B型桌椅每套的利潤，由生產(chǎn)A型桌椅x套，則生產(chǎn)B型桌椅（500-x）套分別求出A和B的利潤，相加表示出總利潤y與x的一次函數(shù)關系式，由一次函數(shù)的比例系數(shù)小于0，得到此一次函數(shù)為減函數(shù)，將x的最大值代入求出對應y的值，即為最少的利潤；
（3）由總利潤最少時x的值，得到A型桌椅的套數(shù)，進而求出B型桌椅的套數(shù)，根據(jù)一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料數(shù)，計算出用的木料數(shù)，用總木料數(shù)-用的木料數(shù)得到剩余的木料數(shù)，剩余的木料數(shù)可生產(chǎn)一套A型桌椅與一套B型桌椅，最多給5名學生提供桌椅．
（1）設生產(chǎn)型桌椅套，則生產(chǎn)型桌椅套，由題意得

解得
∵x為整數(shù)，
∴x的值有7個，分別為：240，241，242，243，244，245，246，
所以有7種生產(chǎn)方案；
（2）根據(jù)題意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000， 
，隨的增大而減少
∴一次函數(shù)y=-28x+38000為減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，
當時，有最小值．
當生產(chǎn)型桌椅246套、型桌椅254套時，總利潤有最小值31118（元）；
（3）當生產(chǎn)A型桌椅246套，B型桌椅254套時，用的木料為246×0.5+254×0.7=300.8m³，
可得剩余木料為302-300.8=1.2m³，
∵一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，
則生產(chǎn)A型桌椅1套，B型桌椅1套時，最多為5名學生提供桌椅.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.